مقایسه عملکرد الگوی ARIMA و MS-AR در پیش‌بینی ادوار تجاری ایران

1. مقدمه

یکی از مشخصه‌های اقتصاد، ادوار تجاری است. دوره‌های طولانی رونق ممکن است این توهم را ایجاد کند که ادوار تجاری پدیده‌ای مربوط به گذشته است و رکودی در کار نخواهد بود. واقعیت این است که رونق و رکود زمان به زمان اتفاق می‌افتد؛ رشد سریع قبل از یک رکود بزرگ یا بالعکس. تجربه به ما آموخته است که ادوار تجاری امری اجتناب ناپذیرند، چه این دوره رونق باشد یا رکود. همان‌گونه که دوره‌های رونق خوشایند هستند، دوره‌های رکود نیز برای تغییر و بازسازی اقتصادی مفیدند (کارائیانی[1] ،2010).

     اقتصاد در هر کشوری در طی زمان به طور مداوم دستخوش تغییر است و نمی‌تواند روند یکسانی را برای مدت طولانی طی کند. به همین جهت همواره در متغیرهای اقتصادی نظیر تولید، مصرف و سرمایه‌گذاری با نوسانات مواجه هستیم که در دوره‌ها و تناوب‌هایی این نوسانات قاعده و نظم خاصی را به خود گرفته‌اند و ادوار تجاری را پدیدار نموده‌اند.

     اصطلاح دور تجاری یا دور اقتصادی، اشاره به نوسانات گسترده اقتصاد در تولید و یا فعالیت‌های اقتصادی در طول چند ماه یا چند سال دارد. این نوسانات پیرامون روند رشد بلندمدت اتفاق می‌افتد و به طور معمول شامل تغییرات در طول زمان بین دوره‌های رشد نسبتا سریع اقتصادی (انبساط یا رونق) و دوره‌های رکود نسبی یا تنزل (انقباض یا رکود)
می‌باشد (سالی ران و شفرین[2]، 2006).

     برنز و میچل[3] ادوار تجاری را این گونه تعریف می‌کنند: «ادوار تجاری نوعی نوسان موجود در فعالیت کل اقتصادی جوامع هستند که اغلب در کسب و کار بنگاه‌ها و موسسه‌های تجاری شکل می‌گیرند. یک دور متشکل از رونق‌هایی است که تقریبا هم‌زمان در بسیاری از فعالیت‌های اقتصادی رخ می‌دهد، مشابه با رکودها، انقباض‌های عمومی احیاء شده و به مرحله رونق در دور بعدی می‌پیوندد. این سلسله تغییرات تکرار می‌شوند ولی نه به طور منظم ادوار تجاری از یک تا دوازده سال طول می‌کشد.» ( ابل و همکاران[4]، 2003: 265).

با توجه به این که برای پیش‌بینی روند یک فعالیت اقتصاد الگوهای گوناگونی وجود دارند و هر کدام از این روش‌ها از قابلیت‌های مختلفی برخوردارند، بنابراین سیاست گذاران اقتصادی همواره درصدد دسترسی به الگویی با حداقل خطا در پیش‌بینی هستند تا بتوانند بر اساس آن دورنمای بهتری از آینده داشته باشند و سیاست‌هایی مبتنی بر آن اتخاذ کنند. مقاله‌ی حاضر در پی معرفی یک الگوی غیرخطی مبتنی بر زنجیره‌های مارکوف[5]، موسوم به
MS-AR[6]  برای پیش‌بینی دوره‌های تجاری است تا توانمندی آن را با یکی از الگوهای خطی سری‌های زمانی، [7]ARIMA مقایسه کند.

2. ادبیات موضوع

در خصوص روش‌های پیش‌بینی ادوار تجاری در مطالعات خارجی، از روش‌های گوناگونی اعم از روش‌های مبتنی بر الگوهای خطی مانند، روش [8]ARMA  باکس- جنکینز[9] و یا الگوهای غیرخطی مانند STAR[10]، [11]TAR، SETAR[12] و نیز MS-AR، و روش‌های مبتنی بر فیلترینگ، جهت تجزیه و تحلیل و پیش بینی ادوار تجاری استفاده شده است.

     تا قبل از این که همیلتون[13] در سال 1989، الگوی پیشنهادی خود را، که بر اساس      زنجیره‌های مارکوف شکل گرفته بود، برای پیش‌بینی ادوار تجاری آمریکا به کار ببندد، پژوهشگرانی مانند بوریج و نلسون^[14] (1981)، نلسون و پلاسر[15] (1982) و کمپبل و منکیو^[16] (1987)، از الگوهای ARIMA یا فرآیندهای ARMA حول یک روند بلندمدت برای تحلیل ادوار تجاری استفاده کردند.

همیلتون (1989)، در تجزیه و تحلیل ادوار تجاری آمریکا روشی را بر اساس یک الگوی سری زمانی با ویژگی تغییر وضعیت ارایه می‌کند. به عقیده‌ی وی، جهش‌ها و تغییرات ناگهانی در درآمد جامعه را می‌توان با استفاده از یک فرآیند مارکوف الگوسازی کرد به طوری که بین موقعیت‌های مختلف بر اساس احتمالات انتقال تغییر وضعیت دهد. این روش برای داده‌های فصلی تولید ناخالص ملی حقیقی آمریکا ( 1952:2 تا 1984:4)، با فرض وجود دو حالت    نرخ‌های رشد کند و سریع به کار برده می‌شود و بر اساس آن برآورد‌های حداکثر راستنمایی پارامترها نیز محاسبه می‌گردد. بدین ترتیب الگویی با دو پارامتر وضعیت و چهار پارامتر خودهمبسته برای این داده‌ها ارایه می‌شود. نتایج حاصل از این الگو به نحو مطلوبی        تاریخ‌گذاری‌های دفتر ملی تحقیقات اقتصادی آمریکا (NBER[17]) را در خصوص موقعیت اقتصاد و هم‌چنین نرخ‌های رشد و دوره‌های رکود و رونق تایید می‌کند. در این مطالعه پیش‌بینی‌هایی ارایه گردیده و مقایسه‌ای نیز بین دو روش مارکوف و ARIMA باکس- جنکینز انجام می‌شود. کلمنت و کرولزیگ[18] (1997)، از الگوهای مارکوف و خودهمبسته آستانه‌ای استفاده کرده و به مقایسه نتایج تجربی پیش‌بینی‌های این دو الگو می‌پردازند. در این مطالعه نیز الگوی ARIMA، به عنوان یک الگوی با فرآیند خطی، با دو الگوی غیرخطی مورد مقایسه قرار       می‌گیرند. برای بررسی حساسیت نتایج نسبت به نمونه‌های انتخابی از داده‌های دو بازه‌ی زمانی استفاده می‌شود، یک بازه شامل داده‌های فصلی درآمد ملی آمریکا به قیمت‌های ثابت 1982 برای دوره‌ی 1948:1 تا 1990:4 است و بازه‌ی دیگر به قیمت‌های ثابت 1992 که در برگیرنده دوره 1959:1 تا 1996:2 می باشد. بر اساس این داده‌ها سه الگوی ARIMA، خودهمبسته آستانه‌ای (TAR) و راهگزینی مارکوف[19] مورد بررسی قرارگرفته و پیش‌بینی‌ها مقایسه
می‌شوند. پیش‌بینی‌ها با استفاده از معیارهای آماری به صورت تجربی با یکدیگر مقایسه
می‌گردند. نتایج بررسی نشان می‌دهد هر چند الگوهای مارکوف و خودهمبسته آستانه‌ای در شکارکردن چهره اصلی ادوار تجاری قوی‌تر از الگوهای خطی ARIMA عمل
 می کنند اما عملکرد آن‌ها در پیش‌بینی در مقایسه با این الگوهای خطی متقاعد کننده نیست. کونتولمیس[20](1999)، در مطالعه تجزیه و تحلیل دور تجاری آمریکا از الگوی مارکوف خودهمبسته برداری[21] و داده‌های فصلی دوره  1948:1 تا 1995:1 استفاده می‌کند. نتایج مطالعه حاکی از آن است که ادوار تجاری حاصل از این الگو در مقایسه با  یک الگوی سری زمانی تک متغیره، نزدیک‌تر به نتایج تاریخ‌گذاری‌های دفتر مطالعات اقتصادی آمریکا
می‌باشد. سسپدو و همکاران[22] (2006) از دو الگوی MS-AR و ARIMA و داده‌های فصلی 1975:1 تا 2000:2 برای پیش‌بینی ادوار تجاری برزیل استفاده می‌کنند. نتایج مطالعه نشان
می‌دهد که الگوی MS-AR از الگوی ARIMA دارای عملکرد پیش‌بینی بهتری است. بوس[23] (2010) در پیش‌بینی تولید ناخالص داخلی کشور لتونی از داده‌های فصلی دوره 1991:1 تا 2009:3 و دو الگوی راهگزینی مارکوف و الگوی خطی خودهمبسته برداری[24] استفاده می‌کند. نتایج مطالعه نشان می‌دهد که الگوی MS کمی بهتر از VAR عمل می‌کند. کارائیانی (2010) از داده‌های ماهانه شاخص تولیدات صنعتی رومانی برای دوره زمانی 1991:1 تا  2008:5 استفاده نموده تا ادوار تجاری این کشور را الگوسازی کند. در این مطالعه از یک الگوی مارکوف دو وضعیتی (رکود و رونق) و دارای عرض از مبدا و با اجازه تغییر در پارامترها با توجه به وضعیت، استفاده می‌شود. الگوی نهایی حاصل، دو وضعیتی و به صورت MS-AR(2)         می‌باشد. نتایج مطالعه نشان می‌دهد که پتانسیل خوبی در جهت استفاده از این الگو در اقتصاد رومانی وجود دارد و شاید بهتر باشد برای تحقیقات بعدی الگویی با سه وضعیت (برای نشان دادن تفاوت بین رشدهای سریع و ناگهانی از رشدهای کند) استفاده شود.

     تعداد پژوهش‌های انجام گرفته در داخل کشور در خصوص ادوار تجاری و  پیش‌بینی آن چندان زیاد نیست و بیشتر با استفاده از روش‌های فیلترینگ (برای نمونه ختایی و دانش جعفری(1380)، هادیان و هاشم پور(1382)، هوشمند و همکاران (1387)، صیادزاده و دیکاله (1387) انجام شده است. از جمله ضعف‌های روش فیلترینگ مشکلی است که در ادبیات تحقیق به نام مشکل نقطه انتهایی^[25] معروف  است. دیگر این که ممکن است برای داده‌هایی که هیچ گونه جزء چرخه‌ای ندارند نیز، مولفه چرخه در نظر بگیرد. این ضعف‌ها به نوعی مزیت استفاده از الگوی مارکوف را نشان می‌دهد. در این بین مطالعه محمدی و همکاران (1388) متمایز است. در این مطالعه با استفاده از شاخص‌های ترکیبی آینده نگر^[26] و الگوی مارکوف سه وضعیتی، ادوار تجاری ایران را پیش‌بینی کرده‌اند. مطالعه با استفاده از داده‌های ماهیانه انجام شده است. با بررسی ابتدایی انجام شده در تحقیق، سه دوره رونق، سکون و رکود برای اقتصاد ایران مشخص شده است. البته با توجه به نتایج به نظر می‌رسد که استفاده از الگوی مارکوف سه وضعیتی برای تجزیه و تحلیل اقتصاد ایران، نتایج کاملا درستی در اختیار نگذارد. زیرا متوسط طول دوره‌های رونق و رکود به دست آمده، بسیار کوتاه است و با توجه به وقفه‌های موجود در تاثیرگذاری سیاست‌ها و متغیرهای کلان اقتصادی، به نظر می‌رسد که متوسط     زمان‌های به دست آمده برای دوره‌های رونق، رکود و سکون، از واقعیت‌های موجود اقتصاد ایران به دور باشد. زیرا علاوه بر این که باید الگوی خوبی از لحاظ معیارهای ارزیابی به داده‌ها برازش شود، نتایج نیز باید با واقعیات موجود هم‌خوانی داشته باشد.

       با وجود مطالعات انجام گرفته در خصوص نحوه‌ی ایجاد و اثرگذاری ادوار تجاری بر اقتصاد ایران و مباحث مربوط به ادوار تجاری، به نظر می‌رسد در پژوهش‌های داخلی، در زمینه مقایسه روش‌های پیش‌بینی خطی و غیرخطی ادوار تجاری، مطالعه و کنکاشی صورت نگرفته است و مقاله‌ی حاضر در راستای تحقق این هدف است، به علاوه، الگوی معرفی شده در این تحقیق از الگوهای جدید پیش‌بینی می‌باشد.

3. روش شناسی

مفهومی که امروزه به نام زنجیره مارکوف نامیده می‌شود، در اوایل قرن بیستم، توسط ریاضیدان روسی آندره مارکوف^[27] ابداع شد و آن هنگامی رخ داد که وی در حال بررسی تناوب حروف باصدا و بی صدا در شعری با عنوان اونگین^[28] از  شاعر روسی الکساندر پاشکین^[29] بود. او الگوی احتمالی را توسعه داد که در آن برآمد پرتاب‌های موفق به یکدیگر وابسته بودند به طوری که هر برآمد تنها به بلافاصله ماقبل آن وابسته است. این الگو ساده‌ترین تعمیم الگوی احتمال برآمدهای مستقل بود، که به نظر می‌رسید توصیف بسیار خوبی برای تناوب حروف باصدا و بی‌صدا ارایه می‌کرد و مارکوف را قادر ساخت که تخمین‌های بسیار دقیقی را از فراوانی حروف بی‌صدا در شعر پاشکین محاسبه کند. الگوی مارکوف استثنایی برای قاعده      "الگوهای ساده اغلب کاربردی‌ترین الگوها برای تحلیل مسایل هستند" نبـود. نظریه فرآینـدهای مارکوف، کاربرد زیادی در زمینه‌های گوناگونی شامل زیست‌شناسی، علوم کامپیوتری، مهندسی، تحقیق در عملیات و اقتصاد پیدا نمود.

      فرآیند مارکوف[30] این امکان را می‌دهد که عدم قطعیت موجود در بسیاری از فرآیندهای دنیای واقعی را که تکاملی پویا در طول زمان دارند، الگوسازی کرد. نظریه اصلی در فرآیند مارکوف، عبارت از وضعیت^[31] و انتقال وضعیت^[32] است. در کاربردهای خاص، هنر الگوسازی این است که توصیف کافی و مناسبی برای وضعیت‌ها به دست دهد، به طوری که فرآیند تصادفی مرتبط با آن به واقع دارای ویژگی مارکوفی باشد. به عبارت دیگر، دانش راجع به وضعیت فعلی برای پیش‌بینی رفتار آتی فرآیند تصادفی کافی می‌باشد (تیمز^[33]، 2003: 81).

      برای این که بتوان فرآیندهای تصادفی را تحلیل کرد، نیاز به ایجاد  فروضی در خصوص ارتباط بین متغیرهای تصادفی است. یکی از مهم‌ترین و عمومی‌ترین ساختارهای ارتباطی بین متغیرهای تصادفی، ساختاری است که آن را خصوصیت مارکوفی می‌نامند. خصوصیت مارکوفی این است که با معلوم بودن وضعیت فعلی فرآیند، آینده آن مستقل از گذشته باشد. این ویژگی مارکوفی را بی حافظگی^[34] نیز می‌نامند (اولافسون^[35]، 2005: 407).

      فرآیندهای مارکوف شامل فرآیندهای زمان گسسته (متناهی) و زمان پیوسته (نامتناهی) می‌شوند. یک زنجیره مارکوف زمان گسسته، فرآیند تصادفی است که ساده‌ترین تعمیم دنباله‌ای از متغیرهای تصادفی مستقل است. یک زنجیره مارکوف دنباله‌ای تصادفی است که وابستگی اتفاقات پی در پی تنها یک واحد زمانی به عقب بر می‌گردد. به عبارتی، رفتار آینده فرآیند تنها به وضعیت کنونی وابسته است و از گذشته متأثر نمی‌شود (تیمز، 2003: 82).

به طور خلاصه، زنجیره‌های مارکوف دارای ویژگی‌های زیر می‌باشند:

1- احتمالات گذار[36]  (یا احتمالات انتقال) تنها به وضعیت فعلی سیستم وابسته‌اند. به عبارت دیگر، اگر وضعیت فعلی مشخص باشد احتمال شرطی وضعیت بعد، از حالت‌های مقدم بر وضعیت فعلی مستقل است (ویژگی بی‌حافظگی یا خصوصیت مارکوفی).

2- احتمال گذار همواره مثبت یا صفر است.

3- جمع احتمالات گذار حرکت به وضعیت‌های دیگر در دوره‌ی زمانی بعد، به فرض این که سیستم در دوره‌ی زمانی فعلی در یکی از وضعیت ها باشد، برابر یک است.^[37]

    اگر مجموعه وضعیت‌های ممکن در یک زنجیره‌ی مارکف متناهی باشد، معمولا p_ijها را به صورت یک آرایه مربعی مرتب کرده، ماتریس P حاصل را ماتریس احتمال انتقال زنجیره مارکوف می‌نامند. بنابراین، اگر مجموعه وضعیت‌های  موجود باشند، خواهیم داشت ( چینلار^[38]، 1380: 140):

در ماتریس مربعی (1)، وضعیت‌هایی که سیستم از آن‌ها حرکت می‌کند در عرض سمت چپ، و وضعیت‌هایی که سیستم به طرف آن‌ها حرکت می‌کند در طول بالای ماتریس قرار می‌گیرند. احتمالات انتقال p_ij حرکت سیستم از یکی از وضعیت‌های سمت چپ(i)، به یکی از وضعیت‌های بالای ماتریس(j) توصیف فرآیند مارکف را کامل می‌کند.

روش مورد استفاده در مطالعه حاضر برای پیش‌بینی ادوار تجاری متغیر y_t (تولید ناخالص داخلی) جامعه بر اساس الگوی مارکوف خودهمبسته (MS-AR)دو وضعیتی است که تعمیمی از الگوی  AR می‌باشد. الگوی مارکوف خود همبسته دو وضعیتی این امکان را فراهم می‌آورد که برای هر یک از دوره‌های رونق یا رکود فرآیند خودهمبسته مجزا از دیگری استفاده شود. به بیان دیگر، برای یک وضعیت که می‌تواند دوره رکود یا رونق باشد و احتمال ورود به آن بر اساس احتمالات گذار^[39] است یک فرآیند خودهمبسته با ویژگی‌های مجزا از وضعیت دیگر وجود دارد. این الگو توسط همیلتون (1989) ارایه شده است و به صورت رابطه (2)  می‌باشد (کارائیانی، 2010):  

                                                             (2)          

که در آن:  y_t: تولید ناخالص داخلی (GDP[40])،

S_t: وضعیت فرآیند در زمان t (با تعداد وضعیت های متناهی) ،

p: تعداد وضعیت های خودهمبسته،

: ضریب عرض از مبداء (قابل تغییر با وضعیت)،

: انحراف معیار استاندارد (قابل تغییر با هر وضعیت مارکوف)،

: ضرایب خودهمبسته برای تاخیرهای 1 تا p (برای هر وضعیت)،

: باقیمانده‌ها (با میانگین صفر و واریانس یک)،

t: نماد زمان

داده‌های مورد استفاده در این مطالعه تولید ناخالص داخلی حقیقی کشور (بر پایه قیمت ثابت سال 1376) با تواتر فصلی دوره 1367:1 تا 1389:4 است که از پایگاه اینترنتی بانک مرکزی گردآوری شده است.

4. برآورد الگو

ابتدا برای هر یک از دو الگوی MS-AR و  ARIMA  بر اساس معیارهای انتخاب الگو نظیر AIC[41] ، برازشی را بر روی داده‌ها انجام داده و با استفاده از معیـارهایی مانند ریشه دوم میانگین مربعات خطا ([42]RMSE )، قدرمطلق درصد خطا ([43]MAPE )، و ضریب نابرابری تایل (TIC[44])  عملکرد دو الگو در پیش بینی ادوار تجاری با هم مقایسه می‌شود.

      با بررسی روند سری GDP و تابع ACF[45] آن (نمودار 1) و نیز آزمون دیکی- فولر تعمیم یافته (ADF) وجود ریشه واحد و عدم ایستایی سری تایید می‌شود. در جدول (1) مشاهده   می‌شود که با توجه به این که مقدار آماره برای وقفه‌های اول و دوم سری کم‌تر از مقادیر بحرانی است، با احتمال 5 درصد خطا، این سری دارای ریشه واحد است. به علاوه مشخص می‌شود که با یک بار تفاضل‌گیری سری ایستا می‌شود. هم‌چنین با استفاده از مقدار آکائیکی (AIC) داده شده معیاری برای تعیین وقفه‌های بهینه در الگو فراهم می‌شود. در اینجا برای سری تفاضل‌گیری شده، با توجه به این که مقدار آکائیکی کاهش دیگری ندارد، وقفه 3 را به عنوان وقفه بهینه پیشنهاد می‌کند. البته تعیین وقفه بهینه منوط به کنترل نمودار PACF[46] (نمودار2) و برازش الگوها و تعیین مقدار آکائیکی و به علاوه کنترل پیش‌بینی‌های الگو نیز می‌باشد. در بخش برازش الگوها، بر مبنای موارد فوق وقفه بهینه تعیین می‌گردد.

نمودار 1. تابع خودهمبستگی سری تولید ناخالص داخلی حقیقی ایران

مأخذ: نتایج تحقیق

جدول 1. مقادیر آماره دیکی فولر برای وقفه های 1 تا 5

مأخذ: نتایج تحقیق

نمودار 2. تابع خودهمبستگی جزیی سری تولید ناخالص داخلی حقیقی ایران

مأخذ: نتایج تحقیق

4-1. برازش الگوی(p, d, q)  ARIMA

در ابتدا، با توجه به این که سری زمانی در تفاضل مرتبه اول خود ایستا می‌شود، مرتبه انباشتگی[47] آن برابر مقدار یک (1=d) تعیین می‌گردد. سپس بر اساس روش باکس- جنکینز بهترین الگو برای داده‌ها انتخاب می‌شود. با توجه به جدول و نمودار (2) و جمع بندی نتایج معیارهای آکائیکی، لگاریتم راستنمایی[48] و شوارز[49] ، در نهایت وقفه بهینه (4=p)  تعیین می‌شود. در مرحله‌ی آخر، با برازش الگوهای متعدد، مقدار q برابر صفر تعیین می‌گردد و الگوی نهایی به صورت ARIMA(4,1,0) مشخص می‌شود.

جدول 2. مقادیر راستنمایی و آکائیکی باحضور 1 تا 5 وقفه در الگو

      مأخذ: نتایج تحقیق

4-2. برازش الگوی MS-AR

فرآیند فوق برای الگوی مارکوف نیز تکرار می‌شود. با این تفاوت که در این الگو متغیر برون‌زایی به نام متغیر وضعیت (S_t) وجود دارد که دو حالتی فرض می‌شود تا بیانگر وضعیت رکود[50] یا رونق[51] باشد. علاوه بر آن، بسته به این که آیا واریانس سری و دیگر پارامترها در هر یک از دو وضعیت متغیر باشند یا خیر، می توان الگوهای مختلفی را برازش نمود. الگویی که در بخش روش‌شناسی ارایه گردید، یک الگوی با عرض از مبدأ است که با نماد MSI[52] نشان داده می‌شود. اگر الگو بر اساس اختلاف از میانگین نوشته شود، با نماد MSM[53] نمایش داده می‌شود. در صورتی که واریانس‌ها بسته به متغیر وضعیت تغییر کند نماد آن در حالت با عرض از مبدأ MSIH[54] و در حالت اختلاف از میانگین MSMH[55] خواهد بود و به همین ترتیب الگوهای گوناگون مارکوف ساخته می‌شود. علاوه بر آن به جای الگوی AR بنا به تشخیص   می‌توان از الگوهای دیگری مثل [56]ARCH یا GARCH[57] استفاده نمود.

      برای انتخاب بهترین الگو، بر اساس معیارهایی که قبلا ذکر شد، تصمیم‌گیری می‌شود. به این نحو که با توجه به حضور وقفه چهارم در الگوی ARIMA، در الگوی مارکوف دو وضعیتی نیز تا وقفه چهارم وارد الگو گردید، ضمن این که اجازه تغییر واریانس‌ها و پارامترهای دیگر الگو نیز داده شد. با توجه به تغییر ناچیز در مقدار آکائیکی و راستنمایی و هم‌چنین پسماندهای غیر نرمال الگو با چهار وقفه و نیز توجه به پیش‌بینی‌های حاصل از الگو و طول دوره رونق و یا رکود، ترجیح داده شد از وقفه چهارم صرف نظر شود. به همین دلیل الگوی مارکوفی با سه وقفه و نیز تغییر در واریانس در نظر گرفته شد. حال با وجود سه وقفه، دو الگو، یکی با فرض تغییر در ضرایب پارامترها نسبت به پارامتر وضعیت و دیگری با ضرایب پارامترهای ثابت در دو وضعیت به داده‌ها برازش داده شد، که در پایان بهترین حالت الگویی با تغییر در واریانس نسبت به پارامتر وضعیت و ضرایب پارامترهای AR ثابت به دست آمد.

      نمودارهای 3 و 4 به ترتیب احتمالات هموار شده[58] وقوع هر یک از دو وضعیت رکود و رونق را نشان می‌دهد. همان طور که مشاهده می‌شود بر اساس الگو، سال‌های قبل از 1367 تا فصل سوم سال 1368 دوره رکود است. از ابتدای سال 1369 تا اواسط سال 1371 یک دوره رونق کوتاه مدت است. سپس از اواسط سال 1371 تا ابتدای سال 1381، دوره رکود 10ساله اقتصاد ایران است. البته در سال 1375 یک تغییر کوتاه مدتی ایجاد شده است. سال 1381 تا اواسط سال 1386 دوره رونق است. سپس تا سال 1389 رکود مجدد و پس از آن دوره رونق اقتصاد ایران است. به عبارت دیگر این الگو بر اساس داده‌های سری زمانی فصلی برای     سال‌های آتی دوره رونق اقتصادی پیش‌بینی می‌کند. نمودارهای 5 و 6 نیز تحلیل پسماندهای الگو است. همان طور که از نمودار 5 بر می‌آید پسماندها تقریبا نرمال هستند و از نمودار6 نیز مشخص می‌شود که همبستگی بین پسماندها وجود ندارد. بدین ترتیب الگوی مطلوب به شکل MSIH(2)-AR(3) شناخته می‌شود.

نمودار 3. احتمالات هموار شده رژیم رکود

مأخذ: نتایج تحقیق

                                 نمودار 4. احتمالات هموار شده رژیم رونق

مأخذ: نتایج تحقیق

نمودار 5. پسماندها

    مأخذ: نتایج تحقیق

                               نمودار 6 . تابع خودهمبستگی پسماندها

  مأخذ: نتایج تحقیق 

جدول 3. مقادیر ضرایب برای الگوی مارکوف برازش شده

  مأخذ: نتایج تحقیق

در جدول 3 مقادیر برازش شده رابطه 2 آمده که به ترتیب از سمت راست به چپ عبارتند از: عرض از مبدأ در وضعیت رکود و رونق، ضرایب خودهمبستگی، انحراف معیارها در دو وضعیت و مقادیر آکائیکی و راستنمایی. ماتریس احتمال انتقال که احتمالات وقوع هر یک از وضعیت‌های سطر را به شرط وضعیت ستون نشان می‌دهد نیز به صورت زیر است:

4-3. پیش‌بینی و مقایسه تجربی

پس از برازش بهترین الگوها بر اساس دو روش ARIMA و MS-AR، به پیش‌بینی و مقایسه توانمندی دو الگو پرداخته می‌شود. بدین منظور از معیارهای RMSE، MAPE وTIC جهت مقایسه استفاده می‌شود. برای محاسبه این معیارها نیاز به پیش‌بینی‌های هر یک از دو الگو    می‌باشد. برای این منظور از روش پیش‌بینی غلتان[59] استفاده می‌شود. بر اساس این روش، ابتدا 24 داده از انتهای سری کنار گذاشته شده و الگو برازش می‌شود. پس از آن برای 24 داده یاد شده از یک تا 16 گام پیشرو، پیش‌بینی صورت می‌گیرد. سپس مبدأ پیش‌بینی یک دوره به جلو   می‌رود و یک داده از ابتدای نمونه کم می‌شود به طوری که تعداد نمونه برای برازش تغییر   نمی‌کند. مراحل تا زمانی که در برابر پیش‌بینی‌ها مقدار مشاهده وجود دارد، تکرار
می‌شود. بدین ترتیب 24×1 گام پیش‌بینی تا 8×16 گام پیش‌بینی به دست می‌آید که
می‌توان بر اساس آن RMSE، MAPE وTIC را محاسبه کرد. مزیت این روش در این است که اگر الگو توانمند باشد پیش‌بینی‌های آن بر اساس نمونه‌های مختلف تقریبا ثابت خواهد بود.

     برای مقایسه عملکرد پیش‌بینی دو الگو، مقادیر معیارها در نمودارهای 7، 8 و 9 ترسیم شده است. مشاهده می‌شود بر اساس معیارهای RMSE و TIC تا گام نهم الگوی ARIMA خطای پیش‌بینی کمتری دارد در حالی که از گام دهم به بعد این الگوی MS-AR است که پیش‌بینی‌های بهتری را ارایه می‌کند. طبق معیار MAPE نیز، تا گام هفتم الگوی ARIMA بهتر است و از گام هشتم به بعد الگوی MS-AR عملکرد بهتری دارد. ضمن این که متوسط رشد خطای RMSE، MAPE وTIC برای الگوی مارکوف به ترتیب 48/1، 40/0 و36/7 درصد است در حالی که این مقادیر برای الگوی ARIMA به ترتیب 77/2، 47/3 و 5/25
درصد می‌باشد. پس رشد خطای پیش‌بینی الگوی مارکوف در طول زمان و در گام‌های بیشتر،  کمتر از الگوی ARIMA است. به عبارتی، الگوی MS-AR برای پیش‌بینی‌های میان مدت و بلندمدت بهتر از ARIMA عمل می‌کند. از طرف دیگر، چون متوسط دوره‌های رونق و رکود اقتصاد ایران طبق الگوی مارکوف بیش از دو سال است، از این رو، برای پیش‌بینی‌های بیش از 8 گام (8 فصل)، الگوی مارکوف عملکرد بهتری دارد. بنابراین، برای دست‌یابی به پیش‌بینی‌های بهتر در گام‌های بیشتر، الگوی مارکوف ارجحیت دارد.

نمودار 7. مقایسه RMSE دو الگوی ARIMA و MS-AR

   مأخذ: نتایج تحقیق    

نمودار 8. مقایسه MAPE دو الگوی ARIMA و MS-AR

  مأخذ: نتایج تحقیق

نمودار 9: مقایسه TIC دو الگوی ARIMA و MS-AR

  مأخذ: نتایج تحقیق

5. نتیجه گیری

در این مقاله، ضمن آشنایی مختصر با مفاهیم مربوط به ادوار تجاری و علل پیدایش آن، بر اساس الگوی مارکوف و با استفاده از سری زمانی تولید ناخالص داخلی حقیقی کشور به تجزیه و تحلیل ادوار تجاری پرداخته شد. دوره‌های رکود و رونق اقتصاد ایران بر اساس این الگو استخراج شد. متوسط طول دوره رکود 21 فصل و متوسط دوره رونق 11 فصل به دست آمد. برای تعیین توانمندی آن در پیش‌بینی، در مقایسه با الگوی ARIMA به روش غلتان، برای هر الگو پیش‌بینی انجام شد. عملکرد الگوها با استفاده از معیارهای RMSE ،MAPE وTIC مقایسه گردید. نتایج نشان داد که براساس معیار MAPE تا گام هفتم و طبق معیارهای RMSE و TIC تا گام نهم، الگوی ARIMA نسبت به مارکوف عملکرد بهتری دارد و برای افق‌های پیش‌بینی به ترتیب با بیش از هشت و ده گام، این الگوی مارکوف است که عملکرد بهتری در پیش‌بینی ادوار تجاری ایران دارد. از طرفی با توجه به این که متوسط طول دوره‌های رونق و رکود اقتصاد ایران بیش از دو سال است، طبق نتایج فوق، برای پیش‌بینی ادوار تجاری در     افق‌های بیشتر از 8 گام (8 فصل)، الگوی مارکوف عملکرد بهتری دارد و مرجح است.